Многие люди интересуются, как округлять числа. Эта необходимость часто возникает у людей, которые свою жизнь связывают с бухгалтерией или другими видами деятельности, где требуются расчеты. Округление может производиться до целых, десятых и так далее. И необходимо знать, как это делать правильно, чтобы расчеты были более менее точными.

А что такое вообще круглое число? Это то, которое заканчивается на 0 (по большей части). В обыденной жизни умение округлять числа значительно облегчает походы по магазинам. Стоя у кассы, можно приблизительно прикинуть общую стоимость покупок, сравнить, сколько стоит килограмм одноименного товара в различных по весу пакетах. С числами, приведенными к удобной форме, легче производить устные расчеты, не прибегая к помощи калькулятора.

Зачем округляются числа?

Любые цифры человек склонен округлять в тех случаях, когда нужно выполнять более упрощенные операции. Например, дыня весит 3,150 килограммов. Когда человек будет рассказывать своим знакомым о том, сколько граммов имеет южный плод, он может прослыть не очень интересным собеседником. Значительно лаконичнее звучат фразы типа "Вот я купил трехкилограмовую дыню" без вникания во всякие ненужные детали.

Интересно, что даже в науке нет необходимости всегда иметь дело с максимально точными числами. А если речь идет о периодических бесконечных дробях, которые имеют вид 3,33333333...3, то это становится невозможным. Поэтому самым логичным вариантом будет обычное округление их. Как правило, результат после этого искажается незначительно. Итак, как округлять числа?

Несколько важных правил при округлении чисел

Итак, если вы захотели округлить число, важно понимать основные принципы округления? Это операция изменения направленная на уменьшение количества знаков после запятой. Чтобы осуществлять данное действие, необходимо знать несколько важных правил:

1. Если число нужного разряда находится в пределах 5-9, округление осуществляется в большую сторону.
2. Если число нужного разряда находится в пределах 1-4, округление производится в меньшую сторону.

Например, у нас есть число 59. Нам его нужно округлить. Чтобы это сделать, надо взять число 9 и добавить к нему единицу, чтобы получилось 60. Вот и ответ на вопрос, как округлять числа. А теперь рассмотрим частные случаи. Собственно, мы разобрались, как округлить число до десятков с помощью этого примера. Теперь осталось всего лишь использовать эти знания на практике.

Как округлить число до целых

Очень часто случается так, что имеется необходимость округлить, например, число 5,9. Данная процедура не составляет большого труда. Нужно для начала опустить запятую, и перед нашим взором предстает при округлении уже знакомое нам число 60. А теперь ставим запятую на место, и получаем 6,0. А поскольку нули в десятичных дробях, как правило, опускаются, то получаем в итоге цифру 6.

Аналогичную операцию можно производить и с более сложными числами. Например, как округлять числа типа 5,49 до целых? Здесь все зависит от того, какие цели вы поставите перед собой. Вообще, по правилам математики, 5,49 - это все-таки не 5,5. Поэтому округлить его в большую сторону нельзя. Но можно его округлить до 5,5, после чего уже законным становится округление до 6. Но такая уловка не всегда срабатывает, так что нужно быть предельно осторожным.

В принципе, выше уже был рассмотрен пример правильного округления числа до десятых, поэтому сейчас важно отобразить только основной принип. По сути, все происходит приблизительно таким же образом. Если цифра, которая находится на второй позиции после запятой, находится в пределах 5-9, то она вообще убирается, а стоящая перед ней цифра увеличивается на один. Если же меньше 5, то данная цифра убирается, а предыдущая остается на своем месте.

Например, при 4,59 до 4,6 цифра "9" уходит, а к пятерке прибавляется единица. А вот при округлении 4,41 единица опускается, а четверка остается в незименном виде.

Как используют маркетологи неумение массового потребителя округлять цифры?

Оказывается, большая часть людей на свете не имеет привычки оценить реальную стоимость продукта, что активно эксплуатируют маркетологи. Все знают слоганы акций типа "Покупайте всего за 9,99". Да, мы сознательно понимаем, что это уже по сути десять долларов. Тем не менее наш мозг устроен так, что воспринимает только первую цифру. Так что нехитрая операция приведения числа в удобный вид должно войти в привычку.

Очень часто округление позволяет лучше оценить промежуточные успехи, выражающиеся в численной форме. Например, человек стал зарабатывать 550 долларов в месяц. Оптимист скажет, что это почти 600, пессимист - что это чуть больше 500. Вроде бы разница есть, но мозгу приятнее "видеть", что объект достиг чего-то большего (или наоборот).

Можно привести огромное количество примеров, когда умение округлять оказывается невероятно полезным. Важно проявлять изобретательность и по возможности на загружаться ненужной информацией. Тогда успех будет незамедлительным.

При округлении оставляют лишь верные знаки, остальные отбрасывают.

Правило 1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5.

Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Например, различные округления числа 35,856 будут 35,86; 35,9; 36.

Правило 3. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на единицу, если она нечетная. Например, 0,435 округляем до 0,44; 0,465 округляем до 0,46.

8. ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Определение плотности твердых тел. Предположим, твердое тело имеет форму цилиндра. Тогда плотность ρ может быть определена по формуле:

где D – диаметр цилиндра, h – его высота, m – масса.

Пусть в результате измерений m, D, и h получены следующие данные:

№ п/п	m, г	Δm, г	D, мм	ΔD, мм	h, мм	Δh, мм	, г/см 3	Δ , г/см 3
	51,2	0,1	12,68	0,07	80,3	0,15	5,11	0,07	0,013
	12,63	80,2
	12,52	80,3
	12,59	80,2
	12,61	80,1
среднее			12,61		80,2		5,11

Определим среднее значение D̃:

Найдем погрешности отдельных измерений и их квадраты

Определим среднюю квадратичную погрешность серии измерений:

Задаем значение надежности α = 0,95 и по таблице находим коэффициент Стьюдента t α . n =2,8 (для n = 5). Определяем границы доверительного интервала:

Так как вычисленное значение ΔD = 0,07 мм значительно превышает абсолютную ошибку микрометра, равную 0,01 мм (измерение производится микрометром), то полученное значение может служить оценкой границы доверительного интервала:

D = D ̃ ± ΔD ; D = (12,61 ±0,07) мм.

Определим значение h̃:

Следовательно:

Для α = 0,95 и n = 5 коэффициент Стьюдента t α , n = 2,8.

Определяем границы доверительного интервала

Так как полученное значение Δh = 0,11 мм того же порядка, что и ошибка штангенциркуля, равная 0,1 мм (измерение h производится штангенциркулем), то границы доверительного интервала следует определить по формуле:

Следовательно:

Вычислим среднее значение плотности ρ:

Найдем выражение для относительной погрешности:

где

7. ГОСТ 16263-70 Метрология. Термины и определения.

8. ГОСТ 8.207-76 Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений.

9. ГОСТ 11.002-73 (ст. СЭВ 545-77) Правила оценки аномальности результатов наблюдений.

Царьковская Надежда Ивановна

Сахаров Юрий Георгиевич

Общая физика

Методические указания к выполнению лабораторных работ «Введение в теорию погрешностей измерений» для студентов всех специальностей

Формат 60*84 1/16 Объем 1 уч.-изд. л. Тираж 50 экз.

Заказ ______ Бесплатно

Брянская государственная инженерно-технологическая академия

Брянск, проспект Станке Димитрова, 3, БГИТА,

Редакционно-издательский отдел

Отпечатано – подразделение оперативной печати БГИТА

Числа округляют и до других разрядов - десятых, сотых, десятков, сотен и т. д.

Если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Правило №1. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равняется 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличивается на единицу.

Пример 1. Дано число 45,769, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра - 6 ˃ 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет - 45,8.

Пример 2. Дано число 5,165, которое нужно округлить до сотых. Первая отбрасываемая цифра – 5 = 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (6) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет - 5,17.

Правило №2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то усиление не делается.

Пример: Дано число 45,749, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра - 4

Правило №3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число. Т. е. последняя цифра остается неизменной, если она четная и усиливается, если - нечетная.

Пример 1: Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем - 0,046. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (6) - четная.

Пример 2. Округляя число 0,0415 до третьего десятичного знака, пишем - 0,042. Усиления делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (1) - нечетная.

Введение.............................................................................................................
ЗАДАЧА № 1. Ряды предпочтительных чисел...............................................
ЗАДАЧА № 2. Округление результатов измерений.......................................
ЗАДАЧА № 3. Обработка результатов измерений.........................................
ЗАДАЧА № 4. Допуски и посадки гладких цилиндрических соединений...
ЗАДАЧА № 5. Допуски формы и расположения...........................................
ЗАДАЧА № 6. Шероховатость поверхности.................................................
ЗАДАЧА № 7. Размерные цепи........................................................................
Список литературы............................................................................................

Задача № 1. Округление результатов измерений

При выполнении измерений важно соблюдать определенные правила округления и записи их результатов в технической документации, так как при несоблюдении этих правил возможны существенные ошибки в интерпретации результатов измерений.

Правила записи чисел

1. Значащие цифры данного числа - все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней справа. При этом нули, следующие из множителя 10, не учитывают.

Примеры.

а) Число 12,0 имеет три значащие цифры.

б) Число 30 имеет две значащие цифры.

в) Число 12010 8 имеет три значащие цифры.

г) 0,51410 -3 имеет три значащие цифры.

д) 0,0056 имеет две значащие цифры.

2. Если необходимо указать, что число является точным, после числа указывают слово "точно" или последнюю значащую цифру печатают жирным шрифтом. Например: 1 кВт / ч = 3600 Дж (точно) или 1 кВт / ч = 3600 Дж.

3. Различают записи приближенных чисел по количеству значащих цифр. Например, различают числа 2,4 и 2,40. Запись 2,4 означает, что верны только целые и десятые доли, истинное значение числа может быть, например, 2,43 и 2,38. Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли: истинное значение числа может быть 2,403 и 2,398, но не 2,41 и не 2,382. Запись 382 означает, что все цифры верны: если за последнюю цифру ручаться нельзя, то число должно быть записано 3,810 2 . Если в числе 4720 верны лишь две первые цифры, оно должно быть записано в виде: 4710 2 или 4,710 3 .

4. Число, для которого указывают допустимое отклонение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда, как и последняя значащая цифра отклонения.

Примеры.

а) Правильно: 17,0 + 0,2. Неправильно: 17 + 0,2 или 17,00 + 0,2.

б) Правильно: 12,13+ 0,17. Неправильно: 12,13+ 0,2.

в) Правильно: 46,40+ 0,15. Неправильно: 46,4+ 0,15 или 46,402+ 0,15.

5. Числовые значения величины и её погрешности (отклонения) целесообразно записывать с указанием одной и той же единицы величины. Например: (80,555 + 0,002) кг.

6. Интервалы между числовыми значениями величин иногда целесообразно записывать в текстовом виде, тогда предлог "от" означает "", предлог "до"– "", предлог "свыше" – ">", предлог "менее" – "<":

"d принимает значения от 60 до 100" означает "60d 100",

"d принимает значения свыше 120 менее 150" означает "120 <d < 150",

"d принимает значения свыше 30 до 50" означает "30 <d 50".

Правила округления чисел

1. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

2. В случае если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) менее 5, то последнюю сохраняемую цифру не меняют.

Пример: Округление числа 12,23 до трех значащих цифр дает 12,2.

3. В случае если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.

Пример: Округление числа 0,145 до двух цифр дает 0,15.

Примечание . В тех случаях, когда следует учитывать результаты предыдущих округлений, поступают следующим образом.

4. Если отбрасываемая цифра получена в результате округления в меньшую сторону, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу (с переходом при необходимости в следующие разряды) , иначе – наоборот. Это касается и дробных и целых чисел.

Пример: Округление числа 0,25 (полученного в результате предыдущего округления числа 0,252) дает 0,3.

4. В случае если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) более 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.

Пример: Округление числа 0,156 до двух значащих цифр дает 0,16.

5. Округление выполняют сразу до желаемого количества значащих цифр, а не по этапам.

Пример: Округление числа 565,46 до трех значащих цифр дает 565.

6. Целые числа округляют по тем же правилам, что и дробные.

Пример: Округление числа 23456 до двух значащих цифр дает 2310 3

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.

Пример: Число 235,732 + 0,15 должно быть округлено до 235,73 + 0,15, но не до 235,7 + 0,15.

7. Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше пяти, то остающиеся цифры не меняются.

Пример: 442,749+ 0,4 округляется до 442,7+ 0,4.

8. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример: 37,268 + 0,5 округляется до 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 должно быть округлено до 37,3 + 0,5.

9. Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, поэтапное округление может привести к ошибкам.

Пример: Поэтапное округление результата измерения 220,46+ 4 дает на первом этапе 220,5+ 4 и на втором 221+ 4, в то время как правильный результат округления 220+ 4.

10. Если погрешность средств измерения указывается всего с одной или двумя значащими цифрами, а рассчетное значение погрешности получают с большим числом знаков, в окончательном значении рассчитанной погрешности должны быть оставлены соответственно только первые одна или две значащие цифры. При этом, если полученное число начинается с цифр 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 3050 %), что недопустимо. Если же полученное число начинается с цифры 3 и более, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, т.е. указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.

Исходя из этого на практике установилось такое правило: если полученное число начинается со значащей цифры, равной или большей 3, то в нем сохраняется лишь она одна; если же оно начинается со значащих цифр, меньших 3, т.е. с цифр 1 и 2, то в нем сохраняют две значащих цифры. В соответствии с этим правилом установлены и нормируемые значения погрешностей средств измерений: в числах 1,5 и 2,5 % указываются две значащих цифры, но в числах 0,5; 4; 6 % указывается лишь одна значащая цифра.

Пример: На вольтметре класса точности 2,5 с пределом измерений х К = 300 В был получен отсчет измеряемого напряжения х = 267,5 В. В каком виде должен быть записан результат измерения в отчете?

Расчет погрешности удобнее вести в следующем порядке: вначале необходимо найти абсолютную погрешность, а затем – относительную. Абсолютная погрешность х =  0 х К /100, для приведенной погрешности вольтметра  0 = 2,5 % и пределов измерения (диапазона измерения) прибора х К = 300 В: х = 2,5300/100 = 7,5 В ~ 8 В; относительная погрешность  = х 100/х = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

Так как первая значащая цифра значения абсолютной погрешности (7,5 В) больше трех, то это значение должно быть округлено по обычным правилам округления до 8 В, но в значении относительной погрешности (2,81 %) первая значащая цифра меньше 3, поэтому здесь должны быть сохранены в ответе два десятичных разряда и указано  = 2,8 %. Полученное значение х = 267,5 В должно быть округлено до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности, т.е. до целых единиц вольт.

Таким образом, в окончательном ответе должно быть сообщено: "Измерение произведено с относительной погрешностью = 2,8 % . Измеренное напряжениеХ = (268+ 8) В".

При этом более наглядно указать пределы интервала неопределенности измеренной величины в виде Х = (260276) В или 260 ВX276 В.

Дробные числа в электронных таблицах Excel можно выводить на экран с разной степенью точности :

• самый простой способ – на вкладке «Главная » нажимаем кнопки «Увеличить разрядность » или «Уменьшить разрядность »;
• щелкаем правой кнопкой мыши по ячейке, в раскрывшемся меню выбираем «Формат ячеек… », далее вкладка «Число », выбираем формат «Числовой », определяем, сколько будет десятичных знаков после запятой (по умолчанию предлагается 2 знака);
• щелкаем ячейку, на вкладке «Главная » выбираем «Числовой », либо идем на «Другие числовые форматы… » и там настраиваем.

Вот как выглядит дробь 0,129, если менять количество десятичных знаков после запятой в формате ячейки:

Обратите внимание, в A1,A2,A3 записано одно и то же значение , меняется только форма представления. При дальнейших расчетах будет использоваться не величина, видимая на экране, а исходная . Начинающего пользователя электронных таблиц это может слегка запутать. Чтобы реально изменить значение, необходимо использовать специальные функции, их в Excel несколько.

Формула округление

Одна из часто применяемых функций округления – ОКРУГЛ . Она работает по стандартным математическим правилам. Выбираем ячейку, щелкаем значок «Вставить функцию », категория «Математические », находим ОКРУГЛ

Определяем аргументы, их два – сама дробь и количество разрядов. Щелкаем «ОК » и смотрим, что получилось.

К примеру, выражение =ОКРУГЛ(0,129;1) даст результат 0,1. Нулевое количество разрядов позволяет избавляться от дробной части. Выбор отрицательного количества разрядов позволяет округлять целую часть до десятков, сотен и так далее. Например, выражение =ОКРУГЛ(5,129;-1) даст 10.

Округляем в большую или меньшую сторону

В Excel представлены и другие средства, позволяющие работать с десятичными дробями. Одно из них – ОКРУГЛВВЕРХ , выдает самое близкое число, большее по модулю. Например, выражение =ОКРУГЛВВЕРХ(-10,2;0) даст -11. Количество разрядов здесь 0, значит, получим целое значение. Ближайшее целое , большее по модулю, – как раз -11. Пример использования:

ОКРУГЛВНИЗ аналогична предыдущей функции, но выдает ближайшее значение, меньшее по модулю. Различие в работе вышеописанных средств видно из примеров :

=ОКРУГЛ(7,384;0)	7
=ОКРУГЛВВЕРХ(7,384;0)	8
=ОКРУГЛВНИЗ(7,384;0)	7
=ОКРУГЛ(7,384;1)	7,4
=ОКРУГЛВВЕРХ(7,384;1)	7,4
=ОКРУГЛВНИЗ(7,384;1)	7,3