Как посчитать погрешность точного и приближенного вычисления. Относительная погрешность
На практике обычно числа, над которыми производятся вычисления, являются приближенными значениями тех или иных величин. Для краткости речи приближенное значение величины называют приближенным числом. Истинное значение величины называют точным числом. Приближенное число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, т.е. оценить его погрешность. Напомним основные понятия из общего курса математики.
Обозначим: x - точное число (истинное значение величины), а -приближенное число (приближенное значение величины).
Определение 1 . Погрешностью (или истинной погрешностью) приближенного числа называется разность между числом x и его приближенным значением а . Погрешность приближенного числа а будем обозначать . Итак,
Точное число x чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти истинную и абсолютную погрешности не представляет возможным. С другой стороны, бывает необходимо оценить абсолютную погрешность, т.е. указать число, которого не может превысить абсолютная погрешность. Например, измеряя длину предмета данным инструментом, мы должны быть уверены в том, что погрешность полученного числового значения не превысит некоторого числа, например 0,1 мм. Другими словами, мы должны знать границу абсолютной погрешности. Эту границу будем называть предельной абсолютной погрешностью.
Определение 3 . Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется положительное число такое, что , т.е.
Значит, х по недостатку, - по избытку. Применяют также такую запись:
| . | (2.5) |
Ясно, что предельная абсолютная погрешность определяется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее число тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи (с 1-2 значащими цифрами) число , удовлетворяющее неравенству (2.3).
Пример. Определить истинную, абсолютную и предельную абсолютную погрешности числа а = 0,17, взятого в качестве приближенного значения числа .
Истинная погрешность: 
Абсолютная погрешность: 
За предельную абсолютную погрешность можно принять число и любое большее число. В десятичной записи будем иметь: Заменяя это число большим и возможно более простым по записи, примем:
Замечание . Если а есть приближенное значение числа х , причем предельная абсолютная погрешность равна h , то говорят, что а есть приближенное значение числа х с точностью до h.
Знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения или вычисления. Пусть, например, получены такие результаты при измерении длины. Расстояние между двумя городами S 1 =500 1 км и расстояние между двумя зданиями в городе S 2 =10 1 км. Хотя абсолютные погрешности обоих результатов одинаковы, однако существенное значение имеет то, что в первом случае абсолютная погрешность в 1 км приходится на 500 км, во втором - на 10 км. Качество измерения в первом случае лучше, чем во втором. Качество результата измерения или вычисления характеризуется относительной погрешностью.
Определение 4. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности числа а к абсолютному значению числа х :
Определение 5. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а называется положительное число такое, что .
Так как , то из формулы (2.7) следует, что можно вычислить по формуле
| . | (2.8) |
Для краткости речи в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, вместо “предельная относительная погрешность” говорят просто “относительная погрешность”.
Предельную относительную погрешность часто выражают в процентах.
Пример 1 . . Полагая , можем принять = . Производя деление и округляя (обязательно в сторону увеличения), получим =0,0008=0,08%.
Пример 2. При взвешивании тела получен результат: p=23,4 0,2 г. Имеем =0,2. . Производя деление и округляя, получим =0,9%.
Формула (2.8) определяет зависимость между абсолютной и относительной погрешностями. Из формулы (2.8) следует:
| . | (2.9) |
Пользуясь формулами (2.8) и (2.9), мы можем, если известно число а , по данной абсолютной погрешности находить относительную погрешность и наоборот.
Заметим, что формулы (2.8) и (2.9) часто приходится применять и тогда, когда мы еще не знаем приближенного числа а с требуемой точностью, а знаем грубое приближенное значение а . Например, требуется измерить длину предмета с относительной погрешностью не выше 0,1%. Спрашивается: возможно ли измерить длину с нужной точностью при помощи штангенциркуля, позволяющего измерить длину с абсолютной погрешностью до 0,1 мм? Пусть мы еще не измеряли предмет точным инструментом, но знаем, что грубое приближенное значение длины - около 12 см. По формуле (1.9) находим абсолютную погрешность:
Отсюда видно, что при помощи штангенциркуля возможно выполнить измерение с требуемой точностью.
В процессе вычислительной работы часто приходится переходить от абсолютной погрешности к относительной, и наоборот, что делается с помощью формул (1.8) и (1.9).
Ни одно измерение не свободно от погрешностей, или, точнее, вероятность измерения без погрешностей приближается к нулю. Род и причины погрешностей весьма разнообразны и на них влияют многие факторы (рис.1.2).
Общая характеристика влияющих факторов может быть систематизирована с различных точек зрения, например, по влиянию перечисленных факторов (рис.1.2).
По результатам измерения погрешности можно разделить на три вида: систематические, случайные и промахи.
Систематические погрешности, в свою очередь, делят на группы по причине их возникновения и характеру проявления. Они могут быть устранены различными способами, например, введением поправок.
рис. 1.2
Случайные погрешности вызываются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных и трудно поддающихся анализу. Их влияние на результат измерения можно уменьшить, например, путем многократных измерений с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методом теории вероятностей.
К промахам относятся грубые погрешности, которые возникают при внезапных изменениях условия эксперимента. Эти погрешности по своей природе тоже случайны, и после выявления должны быть исключены.
Точность измерений оценивается погрешностями измерений, которые подразделяются по природе возникновения на инструментальную и методическую и по методу вычислений на абсолютную, относительную и приведенную.
Инструментальная погрешность характеризуется классом точности измерительного прибора, который приведен в его паспорте в виде нормируемых основной и дополнительных погрешностей.
Методическая погрешность обусловлена несовершенством методов и средств измерений.
Абсолютная погрешность есть разность между измеренным G u и истинным G значениями величины, определяемая по формуле:
Δ=ΔG=G u -G
Заметим, что величина имеет размерность измеряемой величины.
Относительную погрешность находят из равенства
δ=±ΔG/G u ·100%
Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора)
δ=±ΔG/G норм ·100%
где G норм – нормирующее значение измеряемой величины. Ее принимают равной:
а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;
б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы;
в) длине шкалы, если шкала неравномерная.
Класс точности прибора устанавливается при его проверке и является нормируемой погрешностью, вычисляемой по формулам
γ=±ΔG/G норм ·100%, если ΔG m =const
где ΔG m – наибольшая возможная абсолютная погрешность прибора;
G k – конечное значение предела измерения прибора; с и d – коэффициенты, учитывающие конструктивные параметры и свойства измерительного механизма прибора.
Например, для вольтметра с постоянной относительной погрешностью имеет место равенство
δ m =±c
Относительная и приведенная погрешности связаны следующими зависимостями:
а) для любого значения приведенной погрешности
δ=±γ·G норм /G u
б) для наибольшей приведенной погрешности
δ=±γ m ·G норм /G u
Из этих соотношений следует, что при измерениях, например вольтметром, в цепи при одном и том же значении напряжения относительная погрешность тем больше, чем меньше измеряемое напряжение. И если этот вольтметр выбран неправильно, то относительная погрешность может быть соизмерима со значением G н , что является недопустимым. Заметим, что в соответствии с терминологией решаемых задач, например, при измерении напряжения G = U , при измерении тока C = I , буквенные обозначения в формулах для вычисления погрешностей необходимо заменять на соответствующие символы.
Пример 1.1. Вольтметром, имеющим значения γ m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В , измеряют напряжение U u , равное 10 В. Оценим погрешности измерений.
Решение.
Ответ. Погрешность измерений составляет 45 %. При такой погрешности измеренное напряжение нельзя считать достоверным.
При ограниченных возможностях выбора прибора (вольтметра), методическая погрешность может быть учтена поправкой, вычисленной по формуле
Пример 1.2. Вычислить абсолютную погрешность вольтметра В7-26 при измерениях напряжения в цепи постоянного тока. Класс точности вольтметра задан максимально приведенной погрешностью γ m =±2,5 % . Используемый в работе предел шкалы вольтметра U норм =30 В.
Решение. Абсолютная погрешность вычисляется по известным формулам:
(так как приведенная погрешность, по определению, выражается формулой 
, то отсюда можно найти и абсолютную погрешность: 
Ответ. ΔU = ±0,75 В .
Важными этапами в процессе измерений являются обработка результатов и правила округления. Теория приближенных вычислений позволяет, зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий: отобрать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большую, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результаты.
При обработке результатов применяют правила округления.
- Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.
- Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то увеличение не делается.
- Правило 3. Если отбрасываемая цифра равняется пяти, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если она не четная.
Если за цифрой пять есть значащие цифры, то округление производится по правилу 2.
Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточно. Взаимная компенсация погрешности обеспечит наибольшую точность результата.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная).
Когда она прямо не указана, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам 1-3, т.е., если приближенное число обозначить буквой α , то
Где Δn – предельная абсолютная погрешность; а δ n – предельная относительная погрешность.
Кроме того, при обработке результатов используются правила нахождения погрешности суммы, разности, произведения и частного.
- Правило 1. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых, но при значительном числе погрешностей слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.
- Правило 2. Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого или вычитаемого.
Предельную относительную погрешность легко найти, вычислив предельную абсолютную погрешность.
- Правило 3. Предельная относительная погрешность суммы (но не разности) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.
Если все слагаемые имеют одну и ту же предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых.
В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
- Правило 4. Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей: δ=δ 1 +δ 2 , или, точнее, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 где δ – относительная погрешность произведения, δ 1 δ 2 - относительные погрешности сомножителей.
Примечания :
1. Если перемножаются приближенные числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует сохранить столько же значащих цифр. Последняя из сохраняемых цифр будет не вполне надежна.
2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель или еще одну (в качестве запасной), дальнейшие цифры сохранять бесполезно.
3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надежное, то в каждом из сомножителей число точных цифр (полученное измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.
- Правило 5. Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Точная величина предельной относительной погрешности всегда превышает приближенную. Процент превышения примерно равен предельно относительной погрешности делителя.
Пример 1.3. Найти предельную абсолютную погрешность частного 2,81: 0,571.
Решение. Предельная относительная погрешность делимого есть 0,005:2,81=0,2%; делителя – 0,005:0,571=0,1%; частного – 0,2% + 0,1%=0,3%. Предельная абсолютная погрешность частного приближенно составит 2,81:0,571·0,0030=0,015
Значит, в частном 2,81:0,571=4,92 уже третья значащая цифра не надежна.
Ответ. 0,015.
Пример 1.4. Вычислить относительную погрешность показаний вольтметра, включенного по схеме (рис. 1.3), которая получается, если предположить, что вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление и не вносит искажений в измеряемую цепь. Классифицировать погрешность измерения для этой задачи.
рис. 1.3
Решение.
Обозначим показания реального вольтметра через И, а вольтметра с бесконечно большим сопротивлениемчерез И ∞ . Искомая относительная погрешность 
Заметим, что
тогда получим
Так как R И >>R и R > r, то дробь в знаменателе последнего равенства много меньше единицы. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой 
, справедливой при λ≤1
для любого α
. Предположив, что в этой формуле α
= -1 и λ= rR (r+R) -1 R И -1
, получим δ ≈ rR/(r+R) R И
.
Чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внешним сопротивлением цепи, тем меньше погрешность. Но условие R< Ответ.
Погрешность систематическая методическая. Пример 1.5.
В цепь постоянного тока (рис.1.4) включены приборы: А – амперметр типа М 330 класса точности К А = 1,5 с пределом измерения I k = 20 А; А 1 – амперметр типа М 366 класса точности К А1 = 1,0 с пределом измерения I к1 = 7,5 А. Найти наибольшую возможную относительную погрешность измерения тока I 2 и возможные пределы его действительного значения, если приборы показали, что I=8,0А. и I 1 = 6,0А. Классифицировать измерение. рис. 1.4
Решение.
Определяем ток I 2
по показаниям прибора (без учета их погрешностей): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А.
Найдем модули абсолютных погрешностей амперметров А и А 1 Для А
имеем равенство Найдем сумму модулей абсолютных погрешностей: Следовательно, наибольшая возможная и той же величины, выраженная в долях этой величины, равна 1 . 10 3 – для одного прибора; 2·10 3 – для другого прибора. Какой из этих приборов будет наиболее точным? Решение.
Точность прибора характеризуется значением, обратным погрешности (чем точнее прибор, тем меньше погрешность), т.е. для первого прибора это составит 1/(1 . 10 3) = 1000, для второго – 1/(2 . 10 3) = 500. Заметим, что 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в два раза. К аналогичному выводу можно прийти, проверив соответствие погрешностей: 2 . 10 3 / 1 . 10 3 = 2. Ответ.
Первый прибор в два раза точнее второго. Пример 1.6.
Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526. Решение.
Сложив все результаты замеров, получим 0,6187. Предельная наибольшая погрешность суммы 0,00005·9=0,00045. Значит, в последнем четвертом знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. тысячных, получаем 0,619 – результат, в котором все знаки верные. Ответ.
0,619. Количество верных знаков – три знака после запятой. Инструкция В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, чтобы иметь возможность действительное значение. Чем больше будет проведено измерений, тем точнее будет результат. Например, взвесьте на электронных весах. Допустим, вы получили результаты 0,106, 0,111, 0,098 кг. Теперь посчитайте действительное значение величины (действительное, поскольку истинное найти невозможно). Для этого сложите полученные результаты и разделите их на количество измерений, то есть найдите среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105. Источники: Неотъемлемой частью любого измерения является некоторая погрешность
. Она представляет собой качественную характеристику точности проведенного исследования. По форме представления она может быть абсолютной и относительной. Вам понадобится Инструкция Вторые возникают от влияния причин, и случайный характер. К ним можно отнести неправильное округление при подсчете показаний и влияние . Если такие ошибки значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве абсолютной погрешности целесообразно взять половину деления. Промах или грубая погрешность
представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных. Абсолютная погрешность
приближенного числового значения – это разность между результатом, в ходе измерения и истинным значением измеряемой величины. Истинное или действительное значение отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность
является самой простой количественной мерой ошибки. Её можно рассчитать по следующей формуле: ∆Х = Хисл - Хист. Она может принимать положительное и отрицательное значение. Для большего понимания рассмотрим . В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 абсолютная погрешность
равняется: ∆ = 1200 - 1205 = 5. Существуют определенные расчета погрешности величин. Во-первых, абсолютная погрешность
суммы двух независимых величин равна сумме их абсолютных погрешностей: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогичный подход применим для разности двух погрешностей. Можно воспользоваться формулой: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y. Источники: Измерения
физических величин всегда сопровождаются той или иной погрешностью
. Она представляет собой отклонение результатов измерения от истинного значения измеряемой величины. Вам понадобится Инструкция Погрешности могут возникнуть в результате влияния различных факторов. Среди них можно выделить несовершенство средств или методов измерения, неточности при их изготовлении, несоблюдение специальных условий при проведении исследования. Существует несколько классификаций . По форме представления они могут быть абсолютными, относительными и приведенными. Первые представляют собой разность между исчисленным и действительным значением величины. Выражаются в единицах измеряемого явления и находятся по формуле:∆х = хисл- хист. Вторые определяются отношением абсолютных погрешностей к величине истинного значения показателя.Формула расчета имеет вид:δ = ∆х/хист. Измеряется в процентах или долях. Приведенная погрешность измерительного прибора находится как отношение ∆х к нормирующему значению хн. В зависимости типа прибора оно принимается либо равным пределу измерений, либо отнесено к их определенному диапазону. По условиям возникновения различают основные и дополнительные. Если измерения проводились в нормальных условиях, то возникает первый вид. Отклонения, обусловленные выходом значений за пределы нормальных, является дополнительной. Для ее оценки в документации обычно устанавливают нормы, в пределах которых может изменяться величина при нарушении условий проведения измерений. Также погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и грубые. Первые вызываются факторами, которые действуют при многократном повторении измерений. Вторые возникают от влияния причин, и характер. Промах представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных. В зависимости от характера измеряемой величины могут использоваться различные способы измерения погрешности. Первый из них это метод Корнфельда. Он основан на исчислении доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата. Погрешность в этом случае будет представлять собой половину разности этих результатов: ∆х = (хmax-xmin)/2. Еще один из способов – это расчет средней квадратической погрешности. Измерения могут проводиться с разной степенью точности. При этом абсолютно точными не бывают даже прецизионные приборы. Абсолютная и относительная погрешности могут быть малы, но в реальности они есть практически всегда. Разница между приближенным и точным значениями некой величины называется абсолютной погрешностью
. При этом отклонение может быть как в большую, так и в меньшую сторону. Вам понадобится Инструкция Перед тем как рассчитывать абсолютную погрешность, примите за исходные данные несколько постулатов. Исключите грубые погрешности. Примите, что необходимые поправки уже вычислены и внесены в результат. Такой поправкой может быть, перенос исходной точки измерений. Примите в качестве исходного положения то, что и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они меньше систематических, то есть абсолютной и относительной, характерных именно для этого прибора. Случайные погрешности влияют на результат даже высокоточных измерений. Поэтому любой результат будет более или менее приближенным к абсолютному, но всегда будут расхождения. Определите этот интервал. Его можно выразить формулой (Xизм- ΔХ)≤Хизм ≤ (Хизм+ΔХ).
Определите величину, максимально приближенную к значению. В измерениях берется арифметическое, которое можно по формуле, на рисунке. Примите результат за истинную величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора. Зная истинную величину , вы можете найти абсолютную погрешность, необходимо учитывать при всех последующих измерениях. Найдите величину Х1 – данные конкретного измерения. Определите разность ΔХ, отняв от большего меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности. Обратите внимание Как правило, на практике абсолютно точное измерение провести не удается. Поэтому за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой максимальное значение модуля абсолютной погрешности. Полезный совет В практических измерениях за величину абсолютной погрешности обычно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за абсолютную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в следующим за точными цифрами разряде. Для определения класса точности прибора более важным бывает отношение абсолютной погрешности к результату измерений или к длине шкалы. Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методики. Точность зависит также от внимательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные. Инструкция Пусть однократное измерение величины дало результат x. Истинное значение обозначено за x0. Тогда абсолютная погрешность
Δx=|x-x0|. Она оценивает абсолютную . Абсолютная погрешность
складывается из трех составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обычно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм. Истинное значение измеряемой величины в промежутке (x-Δx ; x+Δx). Короче это записывается как x0=x±Δx. Важно измерять x и Δx в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате , например, целая часть и три запятой. Итак, абсолютная погрешность
дает границы интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение. Измерения прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется искомая величина соответствующим прибором. Например, тела линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами. Если результат представляет собой зависимость от трех непосредственно измеряемых величин, имеющих погрешности Δx1, Δx2, Δx3, то погрешность
косвенного измерения ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Здесь ∂F/∂x(i) – частные производные от функции по каждой из непосредственно измеряемых величин. Полезный совет Промахи – это грубые неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методики эксперимента. Чтобы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и подробно расписывайте полученный результат. Источники: Результат любого измерения неизбежно сопровождается отклонением от истинного значения. Вычислить погрешность измерения можно несколькими способами в зависимости от ее типа, например, статистическими методами определения доверительного интервала, среднеквадратического отклонения и пр. Как уже говорилось ранее, когда мы сравниваем точность измерения некоторой приближенной величины, мы используем абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность приближенного значения - это модуль разности точного значения и приближенного значения. Например:
Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором - одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений. Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения. При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины. Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4. Здесь для оценки качества приближения вводится новое понятие относительная погрешность. Относительная погрешность
- это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значений измеряемой величины. Обычно, относительную погрешность выражают в процентах. В нашем примере мы получили две относительных погрешности равные 0.33% и 0.15%. Как вы уже догадались, относительная погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность всегда положительная величина, и мы делим её на модуль, а модуль тоже всегда положителен. 1. Как определять погрешности измерений.
Выполнение лабораторных работ связано с измерением различных физических величин и последующей обработкой их результатов. Измерение
- нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений. Прямое измерение
- определение значения физической величины непосредственно средствами измерения. Косвенное измерение
- определение значения физической величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Введем следующие обозначения: А, В, С, ... - физические величины. А пр - приближенное значение физической величины, т. е. значение, полученное путем прямых или косвенных измерений. ΔА - абсолютная погрешность измерения физической величины. ε - относительная погрешность измерения физической величины, равная: Δ И А - абсолютная инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора (погрешность средств измерения; см. табл. 1). Δ 0 А - абсолютная погрешность отсчета (получающаяся от недостаточно точного отсчета показаний средств измерения); она равна в большинстве случаев половине цены деления, при измерении времени - цене деления секундомера или часов. Таблица 1 Абсолютные инструментальные погрешности средств измерений Максимальная абсолютная погрешность прямых измерений складывается из абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчета при отсутствии других погрешностей: Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры (ΔА = 0,17 ≈ 0,2); числовое значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности (А = 10,332 ≈ 10,3). Результаты повторных измерений физической величины А, проведенных при одних и тех же контролируемых условиях и при использовании достаточно чувствительных и точных (с малыми погрешностями) средств измерения, обычно отличаются друг от друга. В этом случае А пр находят как среднее арифметическое значение всех измерений, а погрешность ΔА (ее называют случайной погрешностью) определяют методами математической статистики. В школьной лабораторной практике такие средства измерения практически не используются. Поэтому при выполнении лабораторных работ необходимо определять максимальные погрешности измерения физических величин. Для получения результата достаточно одного измерения. Относительная погрешность косвенных измерений определяется так, как показано в таблице 2. Таблица 2 Формулы для вычисления относительной погрешности косвенных измерений Абсолютная погрешность косвенных измерений определяется по формуле ΔА = А пр ε (ε выражается десятичной дробью). 2. О классе точности электроизмерительных приборов.
Для определения абсолютной инструментальной погрешности прибора надо знать его класс точности. Класс точности γ пр измерительного прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная инструментальная погрешность Δ и А от всей шкалы прибора (A max): Класс точности указывают на шкале прибора или в его паспорте (знак % при этом не пишут). Существуют следующие классы точности электроизмерительных приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Зная класс точности прибора (γ пр) и всю его шкалу (А mах), определяют абсолютную погрешность Δ и А измерения физической величины А этим прибором: 3. Как сравнивать результаты измерений.
1. Записать результаты измерений в виде двойных неравенств: А 1np - ΔА 1 < А 1пр < А 1пр + ΔА 1 , А 2пр - ΔА 2 < А 2пр < А 2пр + ΔА 2 . 2. Сравнить полученные интервалы значений: если интервалы не перекрываются, то результаты неодинаковы; если перекрываются - одинаковы при данной относительной погрешности измерений. 4. Как оформлять отчет о проделанной работе.
5. Как записывать результат измерения.
А = А пр ± ΔА
для амперметра 
Понятие абсолютной погрешности
Абсолютную погрешность можно применять для сравнения точности приближений одинаковых величин, а если мы собираемся сравнивать точности приближения различных величин, тогда одной абсолютной погрешности недостаточно.Понятие относительной погрешности
№
Средства измерения
Предел измерения
Цена деления
Абсолютная инструментальная погрешность
1
Линейка
ученическая
до 50 см
1 мм
± 1 мм
чертежная
до 50 см
1 мм
± 0,2 мм
инструментальная (стальная)
20 см
1 мм
± 0,1 мм
демонстрационная
100 см
1 см
± 0,5 см
2
Лента измерительная
150 см
0,5 см
± 0,5 см
3
Измерительный цилиндр
до 250 мл
1 мл
± 1 мл
4
Штангенциркуль
150 мм
0,1 мм
± 0,05 мм
5
Микрометр
25 мм
0,01 мм
± 0,005 мм
6
Динамометр учебный
4 Н
0,1 Н
± 0,05 Н
7
Весы учебные
200 г
-
± 0,01 г
8
Секундомер
0-30 мин
0,2 с
± 1 с за 30 мин
9
Барометр-анероид
720-780 мм рт. ст.
1 мм рт. ст.
± 3 мм рт. ст.
10
Термометр лабораторный
0-100 0 С
1 0 С
± 1 0 С
11
Амперметр школьный
2 А
0,1 А
± 0,05 А
12
Вольтметр школьный
6 В
0,2 В
± 0,15 В
№
Формула для физической величины
Формула для относительной погрешности
1
2
3
4
е = ...%.